Родился в 1983 году в Москве. Окончил с отличием Московскую государственную консерваторию имени П.И. Чайковского по специальностям "хоровое дирижирование" (класс профессора Б.Г. Тевлина) и "оперно-симфоническое дирижирование" (класс профессора И.А. Дронова). В период учебы являлся стипендиатом Международного фонда имени М.Л. Ростроповича и стипендиатом Правительства РФ. В 2010 г. с отличием окончил аспирантуру МГК.

В апреле 2006 г. стал обладателем Гран-при Всероссийского конкурса дирижеров имени С.Г. Эйдинова в Магнитогорске. В июне 2006 - был ассистентом Теодора Курентзиса в подготовке концертного исполнения оперы "Дон Жуан" Моцарта в концертном зале имени П.И. Чайковского, оперы "Золушка" Россини в Большом зале консерватории и Альпийской симфонии Р. Штрауса с Национальным филармоническим оркестром России под управлением В. Спивакова в Московском международном Доме музыки. Участник Международного конкурса симфонических дирижеров имени С.С. Прокофьева (Санкт-Петербург) в 2008 году.

С 2005 - дирижер-стажер Национального Филармонического оркестра под управлением Владимира Спивакова, с которым в январе 2007 и июне 2008 года участвовал в концерте дирижеров-стажеров в Московском Международном Доме Музыки и Концертном зале имени П.И. Чайковского.

Работал с Российским Национальным оркестром под управлением Михаила Плетнева, ассистируя в подготовке программы симфоний Шуберта в Большом зале консерватории в Москве. Сотрудничает с Юношеским симфоническим оркестром России им. Л.В. Николаева.

В 2013 г. в рамках "Декабрьских вечеров" дирижировал оперой Стравинского "Мавра", в 2014 г. - кантатой Танеева "Иоанн Дамаскин", которую исполнили Академический симфонический оркестр Московский филармонии и Государственный академический русский хор имени А.В. Свешникова. Также работал над записью музыки к мультфильму "Белка и Стрелка: Лунные приключения", 3D мультфильму "Приключения Серафимы", фильмам "22 минуты" и "Застывший ангел".

Как концертмейстер-пианист принимал участие в концертах Камерного хора Московской Государственной консерватории под управлением Б.Г. Тевлина как в Москве, так и за рубежом (Франция-2005, Англия-2008, Япония-2006, 2008); в подготовке мировой премьеры оперы Р. Щедрина "Боярыня Морозова", получившей премию "Эко-классик" в 2008 году.

Ассистент дирижера в спектаклях "Бег", "Нос", "Дон Жуан, или Наказанный развратник", "Плащ", "Холстомер".

В июне 2010 г. дебютировал в Камерном театре в качестве дирижера в спектакле "Джанни Скикки".

Дирижерский дебют на международной сцене состоялся в феврале 2011 года в Италии (г. Парма, Teatro Regio), где он провел два спектакля "Нос" в рамках гастролей театра. Алексей Верещагин - дирижёр и ассистент Г.Н. Рождественского в спектаклях "Три Пинто" Вебера-Малера, "Леонора" Бетховена, "Мавра" Стравинского. Со спектаклем "Джанни Скикки" принимал участие в Brigitta festivale в Эстонии, со спектаклем "Три Пинто" - в международных фестиваля Марии Биешу в Молдавии и Brucknerfest в Австрии (2014), со спектаклем "Мавра" в Brucknerfest в Австрии (2015).

Дирижер-постановщик детской оперы "Маленький трубочист" Б. Бриттена, премьера которой состоялась в Камерном музыкальном театре им. Б.А. Покровского в декабре 2015 года.

Дирижер-постановщик оперы "Ариадна на Наксосе" Р. Штрауса, премьера которой состоялась в Камерном музыкальном театре им. Б.А. Покровского в июне 2016 года.

Ассистент Владимира Агронского в спектакле "Волшебная флейта" Московского академического Музыкального театра им. К.С. Станиславского и Вл.И. Немировича-Данченко.

С января 2017 г. Алексей Верещагин является приглашенным дирижером Национального филармонического оркестра п/у В. Спивакова.

Ассистировал Владимиру Юровскому в концертном исполнении оперы Р. Штрауса "Ариадна на Наксосе" в КЗЧ 04.02.2017.

В 2017 году репертуар А. Верещагина пополнили мюзиклы: 2 и 4 марта состоялся дирижерский дебют в Театре на Таганке - мюзикл "Суинни Тодд, маньяк-цирюльник с Флит Стрит". Дирижер-постановщик А. Погосян. Режиссер-постановщик А. Франдетти.

В мае 2017 года состоялся дирижерский дебют в опере Н.А. Римского-Корсакова "Сервилия" (режиссёр О. Иванова, Камерный музыкальный театр им. Б.А. Покровского.

Дирижер оперы-буффа Дж.Россини "Турок в Италии", премьера которой состоялась в июне 2017 года в Камерном музыкальном театре им. Б.А. Покровского

Выступил дирижером-постановщиком оперы П. И. Чайковского "Евгений Онегин" в рамках летней оперно-симфонической лаборатории "New opera world - 2017". Также является дирижером вокального конкурса "New opera world".

Дирижер возобновления оперы "Сорочинская ярмарка" М. Мусоргского, премьера возобновленной постановки Б.А. Покровского состоялась 22 сентября 2018 г. на Камерной сцене им. Б.А. Покровского Большого театра России.

Приглашённый дирижёр Московского государственного академического симфонического оркестра под управлением Павла Когана. Дебют состоялся в БЗК им.П.И. Чайковского 27.01.19. с программой музыки Н.Рота и Э.Морриконе.

Дирижер-постановщик опер «Телефон. Медиум» Ж.К. Менотти, премьера которых состоялась на Камерной сцене им. Б.А. Покровского Большого театра России 22 марта 2019 г.

С 2009 г. — хормейстер, а затем дирижер Камерного музыкального театра имени Б.А. Покровского.
С 2018 г. — дирижер Камерной сцены им. Б.А. Покровского Большого театра России.